3.2_时间序列的协整和误差修正模型

发布时间:2021-11-29 12:52:43

§3.2 协整与误差修正模型

一、长期均衡与协整分析 二、协整检验 EG检验 协整检验—EG EG检验 协整检验—JJ JJ检验 三、协整检验 JJ检验 四、误差修正模型

一、长期均衡与协整分析 Equilibrium and Cointegration

1、问题的提出 、
? 经典回归模型(classical regression model)是建立在 经典回归模型( model) *稳数据变量基础上的,对于非*稳变量, *稳数据变量基础上的,对于非*稳变量,不能使用经典 回归模型,否则会出现虚假回归等诸多问题。 虚假回归等诸多问题 回归模型,否则会出现虚假回归等诸多问题。 ? 由于许多经济变量是非*稳的,这就给经典的回归分析方 由于许多经济变量是非*稳的, 法带来了很大限制。 法带来了很大限制。 ? 但是,如果变量之间有着长期的稳定关系,即它们之间是 但是,如果变量之间有着长期的稳定关系, 协整的(cointegration), 协整的(cointegration),则是可以使用经典回归模型方 法建立回归模型的。 法建立回归模型的。 ? 例如 , 中国居民人均消费水*与人均 GDP 变量的例子 , 从 例如, 中国居民人均消费水*与人均GDP 变量的例子, GDP变量的例子 经济理论上说, 人均GDP 决定着居民人均消费水*, GDP决定着居民人均消费水* 经济理论上说 , 人均 GDP 决定着居民人均消费水* , 它们 之间有着长期的稳定关系,即它们之间是协整的。 之间有着长期的稳定关系,即它们之间是协整的。

2、长期均衡
经济理论指出, 经济理论指出, 某些经济变量间确实存在着长期均衡关 系 , 这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在 机制,如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点, 机制 , 如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点 , 则均衡机*嵩谙乱黄诮械髡允蛊渲匦禄氐骄庾 态。 假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述

?

Yt = α 0 + α1 X t + ?t
该均衡关系意味着: 该均衡关系意味着:给定X的一个值,Y相应的均衡值也随 之确定为 α0+α1X。

? 在t-1期末,存在下述三种情形之一: 期末, 期末 存在下述三种情形之一:
– Y等于它的均衡值:Yt-1= α0+α1Xt ; 等于它的均衡值: 等于它的均衡值 – Y小于它的均衡值:Yt-1< α0+α1Xt ; 小于它的均衡值: 小于它的均衡值 – Y大于它的均衡值:Yt-1> α0+α1Xt ; 大于它的均衡值: 大于它的均衡值 ? 在时期 ,假设 有一个变化量?Xt,如果变量 在时期t,假设X有一个变化量 有一个变化量? 如果变量X

与Y在时期 与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关 在时期t与 末期仍满足它们间的长期均衡关 在时期 即上述第一种情况, 的相应变化量为: 系,即上述第一种情况,则Y的相应变化量为: 的相应变化量为

?Yt = α1?Xt + vt
vt=?t-?t-1

? 如果 期末,发生了上述第二种情况 ,即Y的 如果t-1期末,发生了上述第二种情况, 期末 的 值小于其均衡值, 期末 期末Y的变化往往会比第 值小于其均衡值,则t期末 的变化往往会比第 一种情形下Y的变化大一些 的变化大一些; 一种情形下 的变化大一些; ? 反之,如果 期末 的值大于其均衡值,则t期 反之,如果t-1期末 的值大于其均衡值, 期 期末Y的值大于其均衡值 的变化往往会小于第一种情形下的? 末Y的变化往往会小于第一种情形下的?Yt 。 的变化往往会小于第一种情形下的 ? 可见, 如果Yt=α0+α1Xt+?t 正确地提示了X与 Y 可见 , 如果 正确地提示了 与 间的长期稳定的“ 均衡关系” 则意味着Y对 间的长期稳定的 “ 均衡关系 ” , 则意味着 对 其均衡点的偏离从本质上说是“临时性” 其均衡点的偏离从本质上说是“临时性”的。 ? 一个重要的假设就是: 随机扰动项?t 必须是* 一个重要的假设就是 : 随机扰动项 ? 稳序列。如果? 有随机性趋势(上升或下降) 稳序列。如果 ?t有随机性趋势(上升或下降), 则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期 则会导致 对其均衡点的任何偏离都会被长期 累积下来而不能被消除。 累积下来而不能被消除。

? 式Yt=α0+α1Xt+?t中的随机扰动项也被称为非均 非均 衡误差( 衡误差(disequilibrium error),它是变量X ) 与Y的一个线性组合:

? t = Yt ? α 0 ? α 1 X t
? 如果 与Y间的长期均衡关系正确,该式表述的非 如果X与 间的长期均衡关系正确 间的长期均衡关系正确,

均衡误差应是一*稳时间序列,并且具有零期望值, 均衡误差应是一*稳时间序列,并且具有零期望值, 即是具有0均值的 均值的I(0)序列。 序列。 即是具有 均值的 序列 ? 非稳定的时间序列,它们的线性组合也可能成为 非稳定的时间序列, *稳的。称变量X与 是协整的 是协整的( *稳的。称变量 与Y是协整的(cointegrated)。 )。

3、协整
? 如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整,存在向量 如果序列{X ,X 都是d阶单整, =(α 使得Z I(d-b), α=(α1,α2,…,αk),使得Zt=αXT ~ I(d-b), , 其中,b>0, 其中,b>0,X=(X1t,X2t,…,Xkt)T,则认为序列 ,X ,X (d,b)阶协整,记为X CI(d,b), {X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)阶协整,记为Xt~CI(d,b), 阶协整 为协整向量( α为协整向量(cointegrated vector)。 )。 ? 如果两个变量都是单整变量,只有当它们的单整 如果两个变量都是单整变量, 阶数相同时,才可能协整; 阶数相同时,才可能协整;如果它们的单整阶数 不相同,就不可能协整。 不相同,就不可能协整。

? 3个以上的变量,如果具有不同的单整阶数,有 个以上的变量,如果具有不同的单整阶数, 可能经过线性组合构成低阶单整变量。 可能经过线性组合构成低阶单整变量。

Wt ~ I (1),Vt ~ I (2),Ut ~ I (2) Pt = aV t + bU t ~ I (1) Q t = cW t + ePt ~ I ( 0 )
V t ,U ~ CI ( 2 ,1 )

t

W t , P t ~ CI ( 1 ,1 )

? (d,d)阶协整是一类非常重要的协整关系, )阶协整是一类非常重要的协整关系, 它的经济意义在于:两个变量, 它的经济意义在于:两个变量,虽然它们具有 各自的长期波动规律,但是如果它们是(d,d) 各自的长期波动规律,但是如果它们是(d,d) 阶协整的, 阶协整的,则它们之间存在着一个长期稳定的 比例关系。 比例关系。
? 例如,中国CPC和GDPPC,它们各自都是2阶单整,如果 例如,中国CPC和GDPPC,它们各自都是2阶单整, CPC 它们是(2,2)阶协整, (2,2)阶协整 它们是(2,2)阶协整,说明它们之间存在着一个长期稳 定的比例关系,从计量经济学模型的意义上讲, 定的比例关系,从计量经济学模型的意义上讲,建立 如下居民人均消费函数模型是合理的。 如下居民人均消费函数模型是合理的。

CPC t = α 0 + α 1GDPPC

t

+ ?t

? 尽管两个时间序列是非*稳的,也可以用经典 尽管两个时间序列是非*稳的,

的回归分析方法建立回归模型。 的回归分析方法建立回归模型。

从这里, 我们已经初步认识到: 从这里 , 我们已经初步认识到 : 检验变量之 间的协整关系, 间的协整关系 , 在建立计量经济学模型中是非常 重要的。 重要的。 而且, 而且 , 从变量之间是否具有协整关系出发选 择模型的变量,其数据基础是牢固的,其统计性 择模型的变量, 其数据基础是牢固的, 质是优良的。 质是优良的

?

二、协整检验—EG检验 协整检验 检验

两变量的Engle Granger检验 Engle1、两变量的Engle-Granger检验
? 为了检验两变量Yt,Xt 是否为协整,Engle和Granger于 1987年提出两步检验法,也称为EG检验。 第一步, 第一步,用OLS方法估计方程 Yt=α0+α1Xt+?t 并计算非均衡误差,得到:
? ? Y?t = α 0 + α 1 X ? e = Y ? Y?
t t t t

称为协整回归(cointegrating)或静态回归(static regression)。 协整回归( 静态回归( 协整回归 静态回归 )
$ $ 第二步, 第二步,检验 et 的单整性。如果et 为稳定序列,则认为变量 Yt , X t $ 为(1,1)阶协整; 如果 et 为 1 阶单整, 则认为变量 Yt , X t 为(2,1)阶协整; …。

? 非均衡误差的单整性的检验方法仍然是DF检验 非均衡误差的单整性的检验方法仍然是DF检验 DF 或者ADF检验。 ADF检验 或者ADF检验。 ? 需要注意是,这里的DF或ADF检验是针对协 需要注意是,这里的 或 检验是针对协 整回归计算出的误差项, 整回归计算出的误差项,而非真正的非均衡误 差。 ? 而OLS法采用了残差最小*方和原理,因此估 法采用了残差最小*方和原理, 法采用了残差最小*方和原理 因此估 计量δ是向下偏倚的, 计量δ是向下偏倚的,这样将导致拒绝零假设 的机会比实际情形大。 的机会比实际情形大。 ? 于是对et*稳性检验的DF与ADF临界值应该比 于是对e *稳性检验的DF ADF临界值应该比 DF与 正常的DF ADF临界值还要小 DF与 临界值还要小。 正常的DF与ADF临界值还要小。

? MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检 验的临界值。
表 9.3.1 双变量协整 ADF 检验临界值 显 著 性 水 * 样本容量 25 50 100 ∝ 0.01 -4.37 -4.12 -4.01 -3.90 0.05 -3.59 -3.46 -3.39 -3.33 0.10 -3.22 -3.13 -3.09 -3.05

?

检验中国居民人均消费水*CPC CPC与人均国内生 例9.3.1 检验中国居民人均消费水*CPC与人均国内生 产总值GDPPC的协整关系。 GDPPC的协整关系 产总值GDPPC的协整关系。 已知CPC与GDPPC都是I(2)序列,已知它们的回归式 CPC t = 49 .764106 + 0 .45831 GDPPC t
R2=0.9981

对该式计算的残差序列作ADF检验,适当检验模型为:
? ? ? ? ?et = ?1.55et ?1 + 1.49?et ?1 + 2.27?et ?3
(-4.47) (3.93) (3.05) LM(1)=0.00 LM(2)=0.00

t=-4.47<-3.75=ADF0.05,拒绝存在单位根的假设,残差项 是*稳的。因此中国居民人均消费水*与人均GDP是(2,2) 中国居民人均消费水*与人均GDP 中国居民人均消费水*与人均GDP是 阶协整的,说明了该两变量间存在长期稳定的“均衡” 阶协整的,说明了该两变量间存在长期稳定的“均衡”关 系。

扩展的E 2、多变量协整关系的检验—扩展的E-G检验 多变量协整关系的检验 扩展的
多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些,主要在 于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合 协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。 协整变量间可能存在多种稳定的线性组合 假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W,它们有如下的长期 均衡关系: Z t = α 0 + α 1W t + α 2 X t + α 3 Y t + ? t 非均衡误差项?t应是I(0)序列:

? t = Z t ? α 0 ? α 1W t ? α 2 X t ? α 3 Y t

然而,如果Z与W,X与Y间分别存在长期均衡关系:
Z t = β 0 + β1Wt + v1t

X t = γ 0 + γ 1Yt + v2t

则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(0)。于是它 们的任意线性组合也是稳定的。例如

vt = v1t + v2t = Z t ? β 0 ? γ 0 ? β1Wt + X t ? γ 1Yt
一定是I(0)序列。 由于vt象?t一样,也是Z、X、Y、W四个变量的线性 组合,由此vt 式也成为该四变量的另一稳定线性组合。 (1, -α0,-α1,-α2,-α3)是对应于?t 式的协整向量, (1,-β0-γ0,-β1,1,-γ1)是对应于vt式的协整向量。

? 检验程序: 检验程序:
? 对于多变量的协整检验过程 , 基本与双变量情形相同 对于多变量的协整检验过程,基本与双变量情形相同, 即需检验变量是否具有同阶单整性,以及是否存在稳 即需检验变量是否具有同阶单整性, 定的线性组合。 定的线性组合 ? 在检验是否存在稳定的线性组合时 在检验是否存在稳定的线性组合时,需通过设置一个 变量为被解释变量,其他变量为解释变量,进行OLS估 计并检验残差序列是否*稳。 ? 如果不*稳 如果不*稳,则需更换被解释变量,进行同样的OLS估 计及相应的残差项检验。

? 当所有的变量都被作为被解释变量检验之后, 当所有的变量都被作为被解释变量检验之后, 仍不能得到*稳的残差项序列, 仍不能得到*稳的残差项序列,则认为这些变 量间不存在(d,d)阶协整。 量间不存在(d,d)阶协整。

? 检验残差项是否*稳的 与 ADF检验临界值要比通常 检验残差项是否*稳的DF与 检验临界值要比通常 检验临界值小, 的DF与ADF检验临界值小,而且该临界值还受到所检验 与 检验临界值小 的变量个数的影响。 的变量个数的影响。 MacKinnon(1991)通过模拟试验得到的不同变量协整检 验的临界值。
表 9.3.2 多变量协整检验 ADF 临界值 变量数=3 变量数=4 变量数=6 显著性水* 显著性水* 显著性水* 0.01 0.05 0.1 0.01 0.05 0.1 0.01 0.05 0.1 -4.92 -4.1 -3.71 -5.43 -4.56 -4.15 -6.36 -5.41 -4.96 -4.59 -3.92 -3.58 -5.02 -4.32 -3.98 -5.78 -5.05 -4.69 -4.44 -3.83 -3.51 -4.83 -4.21 -3.89 -5.51 -4.88 -4.56 -4.30 -3.74 -3.45 -4.65 -4.1 -3.81 -5.24 -4.7 -4.42

样本 容量 25 50 100 ∝

JJ检验 三、协整检验—JJ检验 协整检验 JJ 教材6.4.3) (教材6.4.3)

JJ检验的原理 ⒈ JJ检验的原理
? Johansen于1988年,以及与 于 年 以及与Juselius一起于 一起于 1990年提出了一种用向量自回归模型进行检验 年提出了一种用向量自回归模型进行检验 的方法,通常称为Johansen检验,或JJ检验, 检验, 检验, 的方法,通常称为 检验 检验 是一种进行多重I(1)序列协整检验的较好方法。 序列协整检验的较好方法。 是一种进行多重 序列协整检验的较好方法

? 没有移动*均项的向量自回归模型表示为: 没有移动*均项的向量自回归模型表示为: 向量自回归模型表示为

y t = α + Π1y t ?1 + L+ Π p y t ? p + ?t

y t = α + ∑ Π j y t ? j + ?t
j =1
差分 Yt为M个I(1)过程构成的向量 为 个 过程构成的向量

p

?y t = ∑ Γ j ?y t ? j + Π y t ?1 + ε t
j =1
I(0)过程 I(0)过程 只有产生协整,才能保证 新生误差是*稳过程

p

? 将y的协整问题转变为讨论矩阵 的性质问题 的协整问题转变为讨论矩阵Π的性质问题 的协整问题转变为讨论矩阵
如果 R(Π) = M ,显然只有 y1t ?1 , y2 t ?1 ,L, yM t ?1 都是 I (0) 变量, 才能保证新生误差是*稳过程。而这与已知的 y t 为 I (1) 过程相矛 盾。所以必然存在 R(Π) < M 。

如果 R(Π) = 0 ,意味着 Π = 0 ,因此仅仅是个差分方程,各项 都是 I (0) 变量,不需要讨论 y1t ?1 , y2t ?1 ,L, yM t ?1 之间是否具有协 整关系。

如果 R(Π) = r (0 < r < M) ,表示存在 r 个协整组合,其余 M ? r 个

Π 关系仍为 I (1) 关系。 在这种情况下, 可以分解成两个 (M × r) 阶
矩阵 α 和 β 的乘积: Π = αβ ′ ,其中 R(α) = r , R(β ) = r 。

?y t =

∑Γ
j =1

p

j

? y t ? j + α β ′ y t ?1 + ε t

该式要求

β ′ y t ?1 为 一 个 I (0) 向 量 , 其 每 一 行 所 表 示 的

y1t ?1 , y 2 t ?1 , L , y M t ?1 的线性组合都是一种协整形式。

所以矩阵 β ′ 决定了 y1t ?1 , y2t ?1 ,L, yM t ?1 之间协整向量的 个数与形式。 称为协整向量矩阵 协整向量矩阵, 个数与形式。所以 β ′ 称为协整向量矩阵,r 为系统中协整 向量的个数。 向量的个数。矩阵 的每一行 αj 是出现在第 j 个方程中的

α

r 个协整组合的一组权重,故称为调整参数矩阵。 个协整组合的一组权重,故称为调整参数矩阵 调整参数矩阵。
于是, 中的协整检验变成对矩阵Π的分析问题 的分析问题。 于是,将yt中的协整检验变成对矩阵 的分析问题。 这就是JJ检验的基本原理 检验的基本原理。 这就是 检验的基本原理。

JJ检验的预备工作 ⒉ JJ检验的预备工作
? 第一步:用OLS分别估计下式中的每一个方程, 第一步: OLS分别估计下式中的每一个方程, 分别估计下式中的每一个方程 计算残差,得到残差矩阵S 为一个(M T)阶 (M× 计算残差,得到残差矩阵S0,为一个(M×T)阶 矩阵。 矩阵。
p

?y t = ∑ Γj ?y t ? j + ?t
j =1

? ?11 ?12 L ?1T ? ?? ?22 L ?2T ? ? ? = ? 21 ? M M M M ? ? ? ??M1 ?M 2 L ?MT ?

? 第一步:用OLS分别估计下式中的每一个方程, 第一步: OLS分别估计下式中的每一个方程, 分别估计下式中的每一个方程 计算残差,得到残差矩阵S 也为一个(M (M× 计算残差,得到残差矩阵S1,也为一个(M×T) 阶矩阵。 阶矩阵。

y t ?1 = ∑ Γ j ?y t ? j + ? t
j =1

p

? 第三步:构造上述残差矩阵的积矩阵: 第三步:构造上述残差矩阵的积矩阵:

R 00

= T S 0S′ 0
?1 ?1

′ R 01 = T S 0 S 1
?1

R 10 = T S 1 S ′ 0

′ R 11 = T S 1S 1
?1

? 第四步:计算有序特征值和特征向量。 第四步:计算有序特征值和特征向量。
计算 R10 R 00 R 01 关于 R11 的有序特征值和特征向量。特征值 即为特征方程
?1 λ R11 ? R10 R 00 R 01 = 0 的解。 ?1

1 ≥ λ 1≥ L ≥ λ r ≥ L ≥ λ M ≥ 0 ,构成对角矩阵 Λ ;对应的
特征向量构成的矩阵为 B ,则有
?1 R11BΛ = R10 R 00 R 01B

其中 B 由下式正规化: B′R11B = I

? 第五步:设定似然函数。 第五步:设定似然函数。
当 Π 无约束时,第四步中的 M 个特征值都保留,其对数似然

1 M 函数依赖于: ? T ∑ln( ? λ i ) 1 2 i=1
但当 R(Π) = r (0 < r < M ) 时, 对数似然函数是 r 个最大的特

1 r 征值的函数: ? T ∑ln( ? λ i ) 1 2 i=1

JJ检验之一 检验之一—特征值轨迹检验 ⒊ JJ检验之一 特征值轨迹检验
如果 r 个最大的特征值给出了协整向量, 对其余 M ? r 个非协 整组合来说, λ r+1,L, λM 应该为 0。于是设零假设为: Hr : 有 M ? r 个单位根,即有 r 个协整关系。备择假设为无约束。 检验统计量为:

η ( M ? r ) = ?T ∑ ln(1 ? λ i )
i = r +1

M

r = 0,1,2,L, M ? 1

服从Johansen分布。被称为特征值轨迹统计量。

当 r = 0,1,2,L, M ?1 时 可 以 得 到 一 系 列 统 计 量 值 :

η (M),η (M ?1),L,η(1) 。
依次检验这一系列统计量的显著性。

当 η (M ) 不 显 著 时 ( 即 η (M ) 值 小 于 某 显 著 性 水 * 下 的 Johansen 分布临界值) 不拒绝 H 0 (即不拒绝 r=0) 说明有 分布临界值) ,不拒绝 ,说明有 , ) , 0 个协整向量 即不存在协整关系) 当 η (M ) 显著时 η (M ) (即不存在协整关系) ; ( 分布临界值) 值大于某显著性水*下的 Johansen 分布临界值) 拒绝 H 0 而 , 个协整向量, 接受 H1 , 此时至少有 1 个协整向量, 必须接着检验η (M ? 1) 的显著性。 的显著性。

当η (M ? 1) 不显著时 即η (M ? 1) 值小于某显著性水*下的 ( Johansen 分布临界值) 不拒绝 H1 (即不拒绝 r=1) 说明有 分布临界值) ,不拒绝 ,说明有 , ) , 1 个协整向量(即存在 1 种协整关系) 当η (M ? 1) 显著时 个协整向量( 种协整关系) ;当 ; ( η (M ? 1) 值大于某显著性水*下的 Johansen 分布临界 ,拒绝 个协整向量, 值) 拒绝 H1 而接受 H 2 ,此时至少有 2 个协整向量,必须接 , 着检验 η (M ? 2) 的显著性。 的显著性。

…,一直检验下去,直到出现第一个不显著的 ,一直检验下去, η(M-r)为止,说明存在 个协整向量。这r个 为止, 个协整向量。 个 - 为止 说明存在r个协整向量 协整向量就是对应于最大的r个特征值的经过 协整向量就是对应于最大的 个特征值的经过 正规化的特征向量。 正规化的特征向量。

JJ检验之一 检验之一—最大特征值检验 ⒋ JJ检验之一 最大特征值检验
H r :有 M ? r 个单位根,即有 r 个协整关系。
备择假设为有 M ? r ? 1 个单位根。 检验统计量为基于最大的特征值 {λ r} 的:

? ( r ? 1) = ?T ln(1 ? λ r )
该统计量被称为最大特征值统计量。于是该检验被 称为最大特征值检验。

检验从下往上进行,即首先检验统计量 ? (0) 。如果统计量

? (0) 不显著, ? (0) 值小于某显著性水*下的 Johansen 分布 即
临界值,则不拒绝 H 0 (即不拒绝 r=0) ,说明有 0 个协整向量 (即不存在协整关系) ;如果统计量 ? (0) 显著,即 ? (0) 值大 于某显著性水*下的 Johansen 分布临界值,则拒绝有 0 个协 整向量的 H 0 ,接受至少有 1 个协整向量的备择假设,必须接 着检验 ? (1) 的显著性。

如果统计量 ? (1) 不显著,即 ? (1) 值小于某显著性水*下的 Johansen 分布临界值,则不拒绝 H 0 (即不拒绝 r=1) ,说明有 1 个协整向量;如果统计量 ? (1) 显著,即 ? (1) 值大于某显著 性水*下的 Johansen 分布临界值,则拒绝有 1 个协整向量的

H 0 ,接受至少有 2 个协整向量的备择假设,必须接着检验

? (2) 的显著性。

…,一直检验下去,直到出现第一个不显著的 ? (r ?1) 为止, 说明存在(r-1)个协整向量,拒绝至少有 r 个协整向量的备 择假设。这(r-1)个协整向量就是对应于最大的(r-1)个 特征值的经过正规化的特征向量。
? 由 Johansen和Juselius于1990年计算得到 Johansen分布临界值表。

统计 量 最 大 特 征 值 特 征 值 轨 迹 1 2 3 4 5

50%

80%

90%

95%

97.5%

99%

均值

方差

2.415 7.474 12.707 17.875 23.132 2.415

4.905 10.666 16.521 22.341 27.953 4.095

6.691 12.783 18.959 24.917 30.818 6.691

8.083 14.595 21.279 27.341 33.262 8.083

9.658 16.403 23.362 29.599 35.700 9.658

11.576 18.782 26.154 32.616 38.858 11.576

3.030 8.030 13.278 18.451 23.680 3.030

7.024 12.568 18.518 24.163 29.000 7.024

ηα (1) η α ( 2) ηα (3) η α ( 4) ηα (5)

9.335

13.038

15.583

17.844

19.611

21.962

9.879

18.017

20.188

24.445

28.436

31.256

34.062

37.291

20.809

34.159

34.873

41.623

45.248

48.419

51.801

55.551

35.475

56.880

53.373

61.566

65.956

69.977

73.031

77.911

53.949

84.092

注意最大特征值检验临界值的选取与 M、 有关。 r 例如, 如果 M=2, 即变量数为 2; T=40。 求得到的两个特征值(按照从大到小的顺序排列)为: λ 0 = 0 .50 , λ 1 = 0 .10 。由(6.4.20)求 出的最大统计量为:

? (0 ) = ? 40 ln(1 ? 0 .50 ) = 27 .73 ? (1) = ? 40 ln(1 ? 0 .10 ) = 4 .21
首先检验统计量 ? ( 0 ) ,此时应该选择对应于 M-0=2 的临界值 14.595(给定显著性水*为 95%)。因为 27.73>14.595,所以统计量 ? ( 0 ) 显著,则拒绝有 0 个协整向量的 H 0 ,接受至 少有 1 个协整向量的备择假设,必须接着检验 ? (1) 的显著性。选择对应于 M-1=1 的临界 值 8.083(给定显著性水*为 95%),因为 4.21<8.083,表示统计量 ? (1) 不显著,则不拒绝

H 0 (即不拒绝 r=1),说明有 1 个协整向量。
如果 M=3,即变量数为 3,则在进行统计量 ? ( 0 ) 显著性检验时,应该选择对应于 M- 0=3 的临界值 21.279(给定显著性水*为 95%)。

JJ检验实例 ⒌JJ检验实例
? GDP、CONSR、CONSP、INV取对数后为 、 取对数后为I(1)序 、 、 取对数后为 序 列。即lnGDP、lnCONSR、lnCONSP、lnINV。 、 、 、 。 ? 对它们之间的协整关系进行检验。 对它们之间的协整关系进行检验。

两种方法的结论是一致的。 两种方法的结论是一致的。

如何处理高阶单整序列? 如何处理高阶单整序列? ? 从理论上讲。JJ 检验只适用于多个1阶单整序列。 从理论上讲。 检验只适用于多个1阶单整序列。 ? 多个同阶高阶单整序列,差分为1阶后再检验,显 多个同阶高阶单整序列,差分为1阶后再检验, 然是可行的。但是意义发生变化。 然是可行的。但是意义发生变化。 ? 没有看到关于高阶多重协整检验的文献,难度太大。 没有看到关于高阶多重协整检验的文献,难度太大。 ? 能否先检验,然后建立均衡方程,通过对误差项的 能否先检验,然后建立均衡方程, 单位根检验以判断发生何种协整?未见经典。 单位根检验以判断发生何种协整?未见经典。

如何选择截距和时间趋势项? 如何选择截距和时间趋势项? ? 分别考虑 和VAR中是否有截距和时间趋势 分别考虑CE和 中是否有截距和时间趋势 项 ? 作为假设 ? 显著性检验 ? 重新检验 ? 对协整关系检验结果无显著影响(检验统计量 对协整关系检验结果无显著影响( 发生变化,但临界值同时发生变化) 发生变化,但临界值同时发生变化)

如何在多个协整关系中作出选择? 如何在多个协整关系中作出选择? ? 一般选择对应于最大特征值的第 个协整关系 一般选择对应于最大特征值的第1个协整关系 ? 从应用的目的出发选择

四、误差修正模型 Error Correction Model, ECM

1、一般差分模型的问题
? 对于非稳定时间序列,可通过差分的方法将其 对于非稳定时间序列, 化为稳定序列, 化为稳定序列,然后才可建立经典的回归分析 模型。 模型。

Yt = α 0 + α 1 X t + ? t

? Yt = α 1 ? X t + v t
模型只表达了X与 间的短期关 模型只表达了 与Y间的短期关 系,而没有揭示它们间的长期关 系。关于变量水*值的重要信息 关于变量水*值的重要信息 将被忽略。 将被忽略。

v t = ? t ? ? t ?1
误差项?t不存在序列相关, νt是一个一阶移动*均时间 一阶移动*均时间 序列,因而是序列相关的。 是序列相关的。 序列 是序列相关的

2、误差修正模型
? 是一种具有特定形式的计量经济学模型,它的 是一种具有特定形式的计量经济学模型, 主要形式是由Davidson Davidson、 Hendry、Srba和 主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo 1978年提出的 称为DHSY模型。 年提出的, DHSY模型 于1978年提出的,称为DHSY模型。

Yt = α 0 + α1 X t + ? t Yt = β 0 + β1 X t + β 2 X t ?1 + δYt ?1 + ? t

由于现实经济中很 少处在均衡点上, 假设具有(1, 1)阶 分布滞后形式

? Y t = β 0 + β 1 ? X t + ( β 1 + β 2 ) X t ?1 ? (1 ? δ )Y t ?1 + ? t

β0 β + β2 ? ? = β 1 ? X t ? (1 ? δ ) ? Y t ?1 ? ? 1 X t ?1 ? + ? t 1?δ 1?δ ? ?

? Y t = β 1 ? X t ? λ (Y t ?1 ? α 0 ? α 1 X t ?1 ) + ? t

? Y的变化决定于X的变化以及前一时期的非均衡 的变化决定于X 程度。 程度 ? 一阶误差修正模型(first-order error correction 一阶误差修正模型( model)的形式: )的形式:
? Y t = β 1 ? X t ? λ (Y t ? 1 ? α 0 ? α 1 X t ? 1 ) + ε t ? Yt = β 1 ? X t ? λ ecm t ?1 + ? t ecm为正 为正, 若(t-1)时刻Y大于其长期均衡解α0+α1X,ecm为正,则 (t-1)时刻Y大于其长期均衡解α 时刻 ecm)为负 使得? 减少; 为负, (-λecm)为负,使得?Yt减少; ecm为负 为负, 若(t-1)时刻Y小于其长期均衡解α0+α1X ,ecm为负, (t-1)时刻Y小于其长期均衡解α 时刻 ecm)为正 使得? 增大。 为正, 则(-λecm)为正,使得?Yt增大。 体现了长期非均衡误差对短期变化的控制。 体现了长期非均衡误差对短期变化的控制。

? 复杂的 复杂的ECM形式,例如: 形式,例如: 形式
Yt = β 0 + β 1 X t + β 2 X t ?1 + β 3 X t ? 2 + δ 1Yt ?1 + δ 2Yt ? 2 + ? t ?Yt = ?δ 2 ?Yt ?1 + β1?X t ? β 3 ?X t ?1 ? λ (Yt ?1 ? α 0 ? α1 X t ?1 ) + ? t Yt = β 0 + β 1 X t + β 2 X t ?1 + γ 1 Z t + γ 2 Z t ? 2 + δ Yt ?1 + ? t ?Yt = β 1 ?X t + γ 1 ?Z t ? λ (Yt ?1 ? α 0 ? α 1 X t ?1 ? α 2 Z t ?1 ) + ? t

? 误差修正模型的优点:如: 误差修正模型的优点: a)一阶差分项的使用消除了变量可能存在的 趋势因素,从而避免了虚假回归问题; b)一阶差分项的使用也消除模型可能存在的 多重共线性问题; c)误差修正项的引入保证了变量水*值的信 息没有被忽视; d)由于误差修正项本身的*稳性,使得该模 型可以用经典的回归方法进行估计,尤其是模 型中差分项可以使用通常的t检验与F检验来进 行选取;等等。

3、误差修正模型的建立
? Granger 表述定理(Granger representaion theorem) ) Engle 与 Granger 1987年提出 年提出 如果变量X 是协整的, 如果变量X与Y是协整的,则它们间的短期非均 衡关系总能由一个误差修正模型表述。 衡关系总能由一个误差修正模型表述。

? Y t = lagged ( ? Y , ? X ) ? λ ecm t ?1 + ? t
模型中没有明确指出Y与X的滞后项数,可以是多阶滞后; 由于一阶差分项是I(0)变量,因此模型中允许采用X的非 滞后差分项?Xt 。

? 建立误差修正模型 建立误差修正模型,需要: 首先对变量进行协整分析,以发现变量之间的 首先 协整关系,即长期均衡关系,并以这种关系构 成误差修正项。 然后建立短期模型,将误差修正项看作一个解 然后 释变量,连同其它反映短期波动的解释变量一 起,建立短期模型,即误差修正模型。

? Engle-Granger两步法 两步法 第一步, 第一步 , 进行协整回归(OLS法),检验变量间的协 整关系,估计协整向量(长期均衡关系参数); 第二步,若协整性存在,则以第一步求到的残差作为 第二步 非均衡误差项加入到误差修正模型中,并用OLS法估 计相应参数。 需要注意的是:在进行变量间的协整检验时,如有必 需要注意的是 要可在协整回归式中加入趋势项,这时,对残差项的 稳定性检验就无须再设趋势项。 另外,第二步中变量差分滞后项的多少,可以残差项 另外 序列是否存在自相关性来判断,如果存在自相关,则 应加入变量差分的滞后项。

? 用打开误差修正项括号的方法直接估计误差修 正模型。 正模型。 一般不采用。 一般不采用。

例9.3.2 中国居民消费的误差修正模型 经济理论指出,居民消费支出是其实际收入的函数。 以中国国民核算中的居民消费支出经过居民消费价格指 居民消费支出经过居民消费价格指 数缩减得到中国居民实际消费支出时间序列( ) 数缩减得到中国居民实际消费支出时间序列(C); 以支出法GDP对居民消费价格指数缩减*似地代表国 对居民消费价格指数缩减*似地代表国 民收入时间序列(GDP)。 民收入时间序列 。 时间段为1978~2000(表9.3.3)
表 9.3.3 1978~1998 年间中国实际居民消费与实际 GDP 数据(单位:亿元,1990 年价) 数据(单位:亿元, 年价) 年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 C 3810 4262 4581 5023 5423 5900 6633 GDP 7809 8658 8998 9454 10380 11265 12933 年份 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 C 7579 8025 8616 9286 8788 9113 9977 GDP 14521 15714 17031 17889 16976 18320 20581 年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 C 11325 12428 13288 14693 16189 17072 18230 GDP 23509 27340 29815 31907 34406 36684 39008

(1)对数据lnC与lnGDP进行单整检验 对数据 与 进行单整检验 容易验证lnC与lnGDP是一阶单整的,它们适合的检验 模型如下:
?2 ln C t = 0.056 ? 0.744? ln Ct ?1
(2.76) LM(1)=0.929 (-3.23) LM(2)=1.121

?2 ln GDPt = 0.13 ? 1.54? ln GDPt ?1 + 0.81?2 ln GDPt ?1 + 0.59?2 ln GDPt ?2 + 0.58?2 ln GDPt ?3
(3.81)(-4.01) LM(1)=0.38 (2.66) LM(3)=2.34 (2.26) LM(4)=2.46 (2.54)

LM(2)=0.67

的协整性, (2)检验 )检验lnC与lnGDP的协整性,并建立长期均衡关系 与 的协整性 首先,建立lnC与lnGDP的回归模型 首先,建立 与 的回归模型
ln Ct = 0.047 + 0.923 ln GDPt
(0.30) (57.48) R2=0.994 DW=0.744

发现有残关项有较强的一阶自相关性。考虑加入适当 的滞后项,得lnC与lnGDP的分布滞后模型
ln Ct = 0.152 + 0.698 ln GDPt + 0.622 ln Ct ?1 ? 0.361ln GDPt ?1

(1.63) (6.62) R2=0.994 DW=1.92

(4.92)

(-2.17) LM(2)=2.31

LM(1)=0.00

自相关性消除,因此可初步认为是lnC与lnGDP的长期 稳定关系。

残差项的稳定性检验: 残差项的稳定性检验:
? ? ?et = ?0.9975et ?1
(-4.32) R2=0.994 DW=2.01 LM(1)=0.04 LM(2)=1.34

t=-4.32<-3.64=ADF0.05 说明lnC与lnGDP是(1,1)阶协整的,下式即为它们 长期稳定的均衡关系:
ln Ct = 0.152 + 0.698 ln GDPt + 0.622 ln Ct ?1 ? 0.361ln GDPt ?1

(3)建立误差修正模型 ) ? ? 以稳定的时间序列 et 做为误差修正项,可建立如下 误差修正模型: 误差修正模型:
? ? ln Ct = 0.686? ln GDPt + 0.784? ln Ct ?1 ? 0.484? ln GDPt ?1 ? 1.163et ?1

(**)

(6.96) R2=0.994

(2.96)

(-1.91)

(-3.15)

DW=2.06 LM(1)=0.70 LM(2)=2.04

由式 ln Ct = 0.152 + 0.698 ln GDPt + 0.622 ln Ct ?1 ? 0.361ln GDPt ?1 可得lnC关于lnGDP的长期弹性: (0.698-0.361)/(1-0.622)=0.892; 由(**)式可得lnC关于lnGDP的短期弹性:0.686

用打开误差修正项括号的方法直接估计误差修正模型 打开误差修正项括号的方法直接估计误差修正模型, 打开误差修正项括号的方法直接估计误差修正模型 适当估计式为:
? ln C t = 0.153 + 0.698? ln GDPt ? 0.378 ln C t ?1 + 0.337 ln GDPt ?1
(1.63)(6.62) R2=0.791 =0.0064 DW=1.93 (-2.99) (2.88) LM(2)=2.31 LM(3)=2.78

写成误差修正模型的形式如下
? ln C t = 0.698? ln GDPt ? 0.378(ln Ct ?1 ? 0.405 ? 0.892 ln GDPt ?1 )

由上式知,lnC关于lnGDP的短期弹性为0.698,长期 弹性为0.892。 可见两种方法的结果非常接* 两种方法的结果非常接*。 两种方法的结果非常接*

(4)预测 ) 由式
ln Ct = 0.152 + 0.698 ln GDPt + 0.622 ln Ct ?1 ? 0.361ln GDPt ?1

给出1998年关于长期均衡点的偏差: ? e98 =ln(18230)-0.152-0.698ln(39008)-0.662ln(17072)
+0.361ln(36684)= 0.0125

由式
? ? ln Ct = 0.686? ln GDPt + 0.784? ln Ct ?1 ? 0.484? ln GDPt ?1 ? 1.163et ?1

预测1999年的短期波动:
?lnC99=0.686(ln(41400)-ln(39008))+0.784(ln(18230)-ln(17072)) -0.484(ln(39008)-ln(36684))-1.163×0.0125= 0.048

于是

ln C99 = 0.048 + ln C 98 = 0.048 + ln(18230) = 9.859

C 99 = e 9.859 = 19125

按照式
? ln C t = 0.698? ln GDPt ? 0.378(ln Ct ?1 ? 0.405 ? 0.892 ln GDPt ?1 )

预测的结果为:
?lnC99=0.698(ln(41400)-ln(39008))-0.378(ln(18230)-0.405 -0.892ln(39008))=0.051

于是
ln C 99 = 0.051 + ln C 98 = 0.051 + ln(18230) = 9.861
C99 = e 9.861 = 19176

以当年价计的1999年实际居民消费支出为39334亿元, 用居民消费价格指数(1990=100)紧缩后约为19697亿元, 两个预测结果的相对误差分别为2.9%与2.6%。 两个预测结果的相对误差分别为 与 。


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