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时间序列的协整和误差修正模型-西瓜网

时间序列的协整和误差修正模型

发布时间:2021-11-29 13:25:14

§3.2 协整与误差修正模型
Cointegration and Error Correction Model
一、长期均衡与协整分析 二、协整检验

三、误差修正模型

一、长期均衡与协整分析 Equilibrium and Cointegration

1、问题的提出
? 经典回归模型(classical regression model)是建立在 *稳数据变量基础上的,对于非*稳变量,不能使用经典 回归模型,否则会出现虚假回归等诸多问题。 ? 由于许多经济变量是非*稳的,这就给经典的回归分析方 法带来了很大限制。 ? 但是,如果变量之间有着长期的稳定关系,即它们之间是 协整的(cointegration),则是可以使用经典回归模型方 法建立回归模型的。 ? 例如,中国居民人均消费水*与人均GDP变量的例子, 从 经济理论上说,人均GDP决定着居民人均消费水*,它们 之间有着长期的稳定关系,即它们之间是协整的。

2、长期均衡 ?
经济理论指出,某些经济变量间确实存在着长期均衡关 系,这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在 机制,如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点, 则均衡机*嵩谙乱黄诮械髡允蛊渲匦禄氐骄庾 态。
假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述

Yt ? ?0 ? ?1 X t ? ?t
该均衡关系意味着:给定X的一个值,Y相应的均衡值也随 之确定为??0+?1X。

? 在t-1期末,存在下述三种情形之一:
– Y等于它的均衡值:Yt-1= ?0+?1Xt ; – Y小于它的均衡值:Yt-1< ?0+?1Xt ; – Y大于它的均衡值:Yt-1> ?0+?1Xt ; ? 在时期t,假设X有一个变化量?Xt,如果变量X

与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关 系,即上述第一种情况,则Y的相应变化量为:

?Yt ? ?1?X t ? vt
vt=?t-?t-1

? 如果t-1期末,发生了上述第二种情况,即Y的 值小于其均衡值,则t期末Y的变化往往会比第 一种情形下Y的变化大一些; ? 反之,如果t-1期末Y的值大于其均衡值,则t期 末Y的变化往往会小于第一种情形下的?Yt 。 ? 可见,如果Yt=?0+?1Xt+?t 正确地提示了X与Y 间的长期稳定的“均衡关系”,则意味着Y对 其均衡点的偏离从本质上说是“临时性”的。 ? 一个重要的假设就是:随机扰动项?t 必须是* 稳序列。如果?t有随机性趋势(上升或下降), 则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期 累积下来而不能被消除。

? 式Yt=?0+?1Xt+?t中的随机扰动项也被称为非均 衡误差(disequilibrium error),它是变量X 与Y的一个线性组合:

?t ? Yt ? ?0 ? ?1 X t
? 如果X与Y间的长期均衡关系正确,该式表述的非

均衡误差应是一*稳时间序列,并且具有零期望值, 即是具有0均值的I(0)序列。 ? 非稳定的时间序列,它们的线性组合也可能成为 *稳的。称变量X与Y是协整的(cointegrated)。

3、协整
? 如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整,存在向量 ?=(?1,?2,…,?k),使得Zt=?XT ~ I(d-b), 其中,b>0,X=(X1t,X2t,…,Xkt)T,则认为序列 {X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)阶协整,记为Xt~CI(d,b), ?为协整向量(cointegrated vector)。 ? 如果两个变量都是单整变量,只有当它们的单整 阶数相同时,才可能协整;如果它们的单整阶数 不相同,就不可能协整。

? 3个以上的变量,如果具有不同的单整阶数,有 可能经过线性组合构成低阶单整变量。

Wt ~ I (1),Vt ~ I (2),Ut ~ I (2)

P ? aVt ? bUt ~ I (1) t Qt ? cWt ? eP ~ I (0) t
Vt , U t ~ CI (2,1) Wt , P ~ CI (1,1) t

? (d,d)阶协整是一类非常重要的协整关系, 它的经济意义在于:两个变量,虽然它们具有 各自的长期波动规律,但是如果它们是(d,d) 阶协整的,则它们之间存在着一个长期稳定的 比例关系。
? 例如,中国CPC和GDPPC,它们各自都是2阶单整,如果 它们是(2,2)阶协整,说明它们之间存在着一个长期稳 定的比例关系,从计量经济学模型的意义上讲,建立 如下居民人均消费函数模型是合理的。

CPCt ? ?0 ? ?1GDPPC ? ?t t
? 尽管两个时间序列是非*稳的,也可以用经典

的回归分析方法建立回归模型。

?

从这里,我们已经初步认识到:检验变量之 间的协整关系,在建立计量经济学模型中是非常 重要的。 而且,从变量之间是否具有协整关系出发选 择模型的变量,其数据基础是牢固的,其统计性 质是优良的。

二、协整检验—EG检验

1、两变量的Engle-Granger检验
? 为了检验两变量Yt,Xt 是否为协整,Engle和Granger于 1987年提出两步检验法,也称为EG检验。 第一步,用OLS方法估计方程 Yt=?0+?1Xt+?t 并计算非均衡误差,得到:
? ? ? Yt ? ? 0 ? ?1 X t ? ? e ? Y ?Y
t t t

称为协整回归(cointegrating)或静态回归(static regression)。
? ? e et Y 第二步,检验t 的单整性。如果 为稳定序列,则认为变量t , X t ? Y 为(1,1)阶协整; et 为 1 阶单整, 如果 则认为变量 t , X t 为(2,1)阶协整; ?。

? 非均衡误差的单整性的检验方法仍然是DF检验 或者ADF检验。

? 需要注意是,这里的DF或ADF检验是针对协 整回归计算出的误差项,而非真正的非均衡误 差。
? 而OLS法采用了残差最小*方和原理,因此估 计量?是向下偏倚的,这样将导致拒绝零假设 的机会比实际情形大。 ? 于是对et*稳性检验的DF与ADF临界值应该比 正常的DF与ADF临界值还要小。

? MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检 验的临界值。
表 8.3.1 样本容量 25 50 100 ∝ 双变量协整 ADF 检验临界值 显 著 性 水 * 0.01 -4.37 -4.12 -4.01 -3.90 0.05 -3.59 -3.46 -3.39 -3.33 0.10 -3.22 -3.13 -3.09 -3.05

? 例8.3.1 利用1978-2006年中国居民总量消费Y与 总量可支配收入X的数据,检验它们取对数的 序列lnY与lnX间的协整关系。
– 分别对lnY与lnX进行单位根检验,结论:它们均是 I(1)序列 。

– 进行协整回归。
– 对协整回归的残差序列进行单位根检验,结论:残 差序列是*稳的。

– 由此判断中国居民总量消费的对数序列lnY与总可 支配收入的对数序列lnX是(1,1)阶协整的。
– 验证了该两变量的对数序列间存在长期稳定的“均 衡”关系。

2、多变量协整关系的检验—扩展的E-G检验
多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些,主要在 于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。 假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W,它们有如下的长期 均衡关系:

Z t ? ? 0 ? ?1Wt ? ? 2 X t ? ? 3Yt ? ?t
非均衡误差项?t应是I(0)序列:

?t ? Z t ? ? 0 ? ?1Wt ? ? 2 X t ? ? 3Yt

然而,如果Z与W,X与Y间分别存在长期均衡关系:
Zt ? ?0 ? ?1Wt ? v1t

X t ? ? 0 ? ? 1Yt ? v2t

则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(0)。于是它 们的任意线性组合也是稳定的。例如

vt ? v1t ? v2t ? Zt ? ?0 ? ? 0 ? ?1Wt ? X t ? ? 1Yt
一定是I(0)序列。 由于vt象?t一样,也是Z、X、Y、W四个变量的线性 组合,由此vt 式也成为该四变量的另一稳定线性组合。 (1, -?0,-?1,-?2,-?3)是对应于?t 式的协整向量, (1,-?0-?0,-?1,1,-?1)是对应于vt式的协整向量。

? 检验程序:
? 对于多变量的协整检验过程,基本与双变量情形相同, 即需检验变量是否具有同阶单整性,以及是否存在稳 定的线性组合。 ? 在检验是否存在稳定的线性组合时,需通过设置一个 变量为被解释变量,其他变量为解释变量,进行OLS估 计并检验残差序列是否*稳。 ? 如果不*稳,则需更换被解释变量,进行同样的OLS估 计及相应的残差项检验。

? 当所有的变量都被作为被解释变量检验之后, 仍不能得到*稳的残差项序列,则认为这些变 量间不存在(d,d)阶协整。

? 检验残差项是否*稳的DF与ADF检验临界值要比通常 的DF与ADF检验临界值小,而且该临界值还受到所检验 的变量个数的影响。

MacKinnon(1991)通过模拟试验得到的不同变量协整检 验的临界值。
表 8.3.2 样本 容量 25 50 100 ∝ 变量数=3 显著性水* 0.01 0.05 0.1 -3.71 -3.58 -3.51 -3.45 -4.92 -4.1 -4.59 -3.92 -4.44 -3.83 -4.30 -3.74 多变量协整检验 ADF 临界值 变量数=4 显著性水* 0.01 -5.43 -5.02 -4.83 -4.65 0.05 -4.56 -4.32 -4.21 -4.1 0.1 -4.15 -3.98 -3.89 -3.81 变量数=6 显著性水* 0.01 -6.36 -5.78 -5.51 -5.24 0.05 -5.41 -5.05 -4.88 -4.7 0.1 -4.96 -4.69 -4.56 -4.42

3、重要讨论:协整方程等价于均衡方程?

? 协整方程具有统计意义,而均衡方程具有经济 意义。时间序列之间在经济上存在均衡关系, 在统计上一定存在协整关系;反之,在统计上 存在协整关系的时间序列之间,在经济上并不 一定存在均衡关系。协整关系是均衡关系的必 要条件,而不是充分条件。
– 例如:农场居民人均消费和城镇居民人均收入之间 存在协整关系,但是它们在经济上并不存在均衡关 系。
– 例如:经济增长率和通货膨胀率之间存在协整关系 ,但是它们在经济上并不存在均衡关系。

? 均衡方程中应该包含均衡系统中的所有时间序 列,而协整方程中可以只包含其中的一部分时 间序列。
–例如:在GDP使用系统中包括GDP使用额、消费额、 资本形成额、净出口额。均衡关系存在于4个序列 之间,而协整关系可以存在于任意2个、3个序列之 间。

? 协整方程的随机扰动项是*稳的,而均衡方程 的随机扰动项必须是白噪声。
? 结论:不能由协整导出均衡,只能用协整检验 均衡。

四、误差修正模型 Error Correction Model, ECM

1、一般差分模型的问题
? 对于非稳定时间序列,可通过差分的方法将其 化为稳定序列,然后才可建立经典的回归分析 模型。

Yt ? ? 0 ? ?1 X t ? ?t

?Yt ? ?1?X t ? vt
模型只表达了X与Y间的短期关 系,而没有揭示它们间的长期关 系。关于变量水*值的重要信息 将被忽略。

vt ? ?t ? ?t ?1
误差项?t不存在序列相关, ?t是一个一阶移动*均时间 序列,因而是序列相关的。

2、误差修正模型
? 是一种具有特定形式的计量经济学模型,它的 主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo 于1978年提出的,称为DHSY模型。

Yt ? ? 0 ? ?1 X t ? ?t
Yt ? ? 0 ? ?1 X t ? ? 2 X t ?1 ? ?Yt ?1 ? ?t

由于现实经济中很 少处在均衡点上, 假设具有(1, 1)阶 分布滞后形式

?Yt ? ? 0 ? ? 1 ?X t ? ( ? 1 ? ? 2 ) X t ?1 ? (1 ? ? )Yt ?1 ? ? t

?0 ? ? ?2 ? ? ? ? 1 ?X t ? (1 ? ? )? Yt ?1 ? ? 1 X t ?1 ? ? ? t 1?? 1?? ? ?

?Yt ? ?1?X t ? ? (Yt ?1 ? ? 0 ? ?1 X t ?1 ) ? ?t

? Y的变化决定于X的变化以及前一时期的非均衡 程度。 ? 一阶误差修正模型(first-order error correction model)的形式:
?Yt ? ?1 ?X t ? ? (Yt ?1 ? ? 0 ? ?1 X t ?1 ) ? ? t

?Yt ? ?1?X t ? ?ecmt ?1 ? ?t
若(t-1)时刻Y大于其长期均衡解?0+?1X,ecm为正,则 (-?ecm)为负,使得?Yt减少; 若(t-1)时刻Y小于其长期均衡解?0+?1X ,ecm为负, 则(-?ecm)为正,使得?Yt增大。

体现了长期非均衡误差对短期变化的控制。

? 复杂的ECM形式,例如:高阶、多变量
Yt ? ? 0 ? ?1 X t ? ? 2 X t ?1 ? ? 3 X t ?2 ? ?1Yt ?1 ? ? 2Yt ?2 ? ?t ?Yt ? ?? 2 ?Yt ?1 ? ?1?X t ? ? 3 ?X t ?1 ? ? (Yt ?1 ? ? 0 ? ?1 X t ?1 ) ? ?t Yt ? ? 0 ? ?1 X t ? ? 2 X t ?1 ? ? 1 Z t ? ? 2 Z t ?2 ? ?Yt ?1 ? ?t ?Yt ? ?1?X t ? ? 1?Z t ? ? (Yt ?1 ? ? 0 ? ?1 X t ?1 ? ? 2 Z t ?1 ) ? ?t

? 误差修正模型的优点:如: a)一阶差分项的使用消除了变量可能存在的 趋势因素,从而避免了虚假回归问题; b)一阶差分项的使用也消除模型可能存在的 多重共线性问题; c)误差修正项的引入保证了变量水*值的信 息没有被忽视; d)由于误差修正项本身的*稳性,使得该模 型可以用经典的回归方法进行估计,尤其是模 型中差分项可以使用通常的t检验与F检验来进 行选取;等等。

3、误差修正模型的建立
? Granger 表述定理(Granger representaion theorem) Engle 与 Granger 1987年提出 如果变量X与Y是协整的,则它们间的短期非均 衡关系总能由一个误差修正模型表述。

?Yt ? lagged(?Y , ?X ) ? ?ecmt ?1 ? ?t
模型中没有明确指出Y与X的滞后项数,可以是多阶滞后; 由于一阶差分项是I(0)变量,因此模型中允许采用X的非 滞后差分项?Xt 。

? 建立误差修正模型:
– 首先对经济系统进行观察和分析,提出长期均衡关 系假设。 – 然后对变量进行协整分析,以发现变量之间的协整 关系,即检验长期均衡关系假设,并以这种关系构 成误差修正项。 – 最后建立短期模型,将误差修正项看作一个解释变 量,连同其它反映短期波动的解释变量一起,建立 短期模型,即误差修正模型。

? Engle-Granger两步法 第一步,进行协整回归(OLS法),检验变量间的协 整关系,估计协整向量(长期均衡关系参数); 第二步,若协整性存在,则以第一步求到的残差作为 非均衡误差项加入到误差修正模型中,并用OLS法估 计相应参数。 需要注意的是:在进行变量间的协整检验时,如有必 要可在协整回归式中加入趋势项,这时,对残差项的 稳定性检验就无须再设趋势项。

另外,第二步中变量差分滞后项的多少,可以残差项 序列是否存在自相关性来判断,如果存在自相关,则 应加入变量差分的滞后项。

? 直接估计法
–用打开误差修正项括号的方法直接估计误差修正模 型。

–一般不采用。


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